8年級6班  魯浩翔

      在學習數(shù)學的過程中，許多問題不能僅僅用一種思維去思考。當你用不同的方式去分析同一個問題時，你會有不同的見解，并從中獲得無窮的樂趣。

      下面僅舉一例說明多角度考慮問題的重要性。

      已知一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的4倍，求這個多邊形的邊數(shù)。

      此題的一般思路是：任何多邊形的外角和都為360°，內(nèi)角和是外角和的4倍，則此多邊形的內(nèi)角和是4×360°。又n邊形的內(nèi)角和為（n-2）×180°，由此可得方程（n-2）×180°=4×360°，解得n=10.

這個問題還有其它思考方式

      （1）整體思考。由于過同一個頂點的內(nèi)角與外角之和為一個平角，所以，多邊形有多少條邊，就有多少個這樣的平角，由已知可知內(nèi)角和是外角和的四倍，而外角和是兩個平角，因此內(nèi)角和是8個平角，這樣內(nèi)外角的和就是10個平角，因此，多邊形的邊數(shù)就是10。

      算式為：2+2×4=10，也可以1800/180=10

      （2）特殊思考。由于所求的問題是多邊形的邊數(shù)，題目的已知條件中并沒有對多邊形的形狀進行限制，所以該問題應(yīng)該與多邊形的形狀無關(guān)，因此取特殊形狀的多邊形進行計算，得到的結(jié)果就是一般情況的結(jié)論，因此有如下思考。

      假設(shè)所求多邊形的每個內(nèi)角都相等，則每個外角也都相等，由于內(nèi)角和是外角和的4倍，所以，每個每個內(nèi)角是每個外角的4倍，又因為過同一頂點的內(nèi)外角之和等于一個平角，所以每一個外角是平角的五分之一，而外角和為兩個平角，所以必有2÷（1/5）=10.

      (3)利用過一個頂點的對角線劃分的三角形個數(shù)考慮

多邊形的內(nèi)角和等于用過一個頂點的對角線劃分的三角形的個數(shù)來表示，有一個三角形，內(nèi)角和就包含一個平角，由于已知內(nèi)角和為外角和的4倍，則內(nèi)角和一定是8個平角，由上面的分析可知，過一個頂點的對角線必將把多邊形分成8個三角形，要分成8個三角形，他的頂點數(shù)必為10，所以所求的多邊形為10邊形。

      （4）對多邊形進行利用等內(nèi)角和變形，變形后的頂點認為原多邊形的頂點，而其他變都到了變形后多邊形的邊上，這樣有幾個邊在變形后的邊上，就對應(yīng)多少個平角。

      （5）更為特殊的是把n邊形轉(zhuǎn)化為一條線段，使線段的兩個端點為多邊形的兩個端點，這樣這兩個端點對應(yīng)的內(nèi)角均為0°，而其它（n-2）個點均“跑到”線段的內(nèi)部，每個點對應(yīng)的內(nèi)角均為一個平角，由已知，多邊形的內(nèi)角和為8個平角，所以西安段內(nèi)必有八個點，所以多邊形為10邊形。

      利用這種思想，若知道多邊形的內(nèi)角和，就可以求出它的頂點數(shù)，今兒可求多邊形的邊數(shù)。由題意知該多邊形的內(nèi)角和為8個平角，也可以認為4個平角。把原多邊形變形為三角形，則三角形的三個內(nèi)角和為一個平角，這樣還有7個平角，因此必須有7個頂點被拉到了邊上，因此所求多邊形的邊數(shù)為3+7=10（邊形）；同樣的思想，還可以把多邊形拉成長方形，長方形的內(nèi)角和為2個平角，由題意知還有6個平角的內(nèi)角，所以應(yīng)有6個頂點被拉到了邊上，所以多邊形的邊數(shù)為4+6=10。

      （李守峰：上述第一類思考是魯浩翔在周考的試卷上反映出來的，因為他的這種解法被扣了4分（否則他就是全卷滿分），在我講評試卷的時候，他直接問我，老師我這道題錯在哪里？當時我被問的啞口無言，說不對，結(jié)果又安全正確，說不錯，又有點湊數(shù)的感覺。作為老教師，我當時機靈一動，這個問題咱下課在研究，請我先把其它問題講完。就這樣把問題拋到了課后。

      課后反思：該同學的思維非常好，其獨特的解法讓我耳目一新，該同學為什么有這樣開放的想法，我想有以下幾點。（1）該同學具有良好的學習習慣，凡是肯鉆研，在我剛開始帶他課的時候，他曾經(jīng)告訴我，他不會的問題在網(wǎng)上搜答案，然后研究。一開始，他還認為我要批評。可我一聽，不但沒有批評，反而大加表揚。網(wǎng)絡(luò)是最好的老師，如果把上網(wǎng)用在學習上，學生掌握知識的寬度要遠遠大于教師的傳授！因此，好多同學樂于上網(wǎng)，樂于查找問題的答案。其次魯浩翔同學興趣廣泛，不拘泥于現(xiàn)成的死記硬背，凡是總想從多角度思考，以尋求解決問題的多個渠道，因此才有如此發(fā)散思維。第三，學生的創(chuàng)新意識培養(yǎng)需要老師的引導(dǎo)，這就要求我們在講授知識的過程中，不要刻意強調(diào)解題規(guī)范，更不要對問題進行過分的歸納，否則學生的思維將會完全限在老師的套套當中，學生一旦見到了老師總結(jié)過的問題，就非常輕松簡單的得出教師所期望的結(jié)果，甚至還會為學生的嚴密邏輯而高興，其實，學生已經(jīng)成了做題的機器。一旦遇到生僻的問題，學生就會驚慌失措，從而喪失獨立思考的品質(zhì)。相反，少給學生一些條條框框，讓學生在自己的思維天空中去領(lǐng)會，去感悟，這樣取得的知識才是靈動的！第四，發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新火苗，立即點燃火把。當我發(fā)現(xiàn)學生的良好思路時，大加表揚，一方面鼓勵個人，更多的是借此鼓勵大家。順勢而行，因勢利導(dǎo)，我又讓他繼續(xù)深入思考，總結(jié)提升。

      特別使我欣慰的是沂州實驗的課堂正在發(fā)生著深刻的變革，主題學習、小組合作、選課走班等都在培養(yǎng)學生的能力方面進行努力的探索，魯浩翔僅僅是眾多優(yōu)秀學生的代表。因為沒有事先集中老師當中的素材，所以才僅有此例。